Theory-informed and interpretable graph learning for urban commuting flows

Paper: Zhao, M., Zhang, D., Shi, Z., & Wu, C. (2026). Theory-informed and interpretable graph learning for urban commuting flows. Sustainable Cities and Society, 148, 107575. Publisher

Abstract: 도시의 통근 흐름은 유연한 예측 모델만으로 설명하기 어렵다. 출발지는 통근자를 내보내는 생산 역할을, 도착지는 일자리를 끌어들이는 흡인 역할을 하며, 두 지역 사이의 흐름은 거리가 멀어질수록 감소하는 경향을 보인다. PIG-GNN은 이 비대칭을 두 개의 graph encoder로 분리하고, 거리 감쇠·Zipf scaling·흐름 분포를 soft constraint로 학습 목적에 넣는다. England MSOA 수준의 Home-to-Work 자료에서 저자 보고 기준 RMSE 0.297, CPC 0.791, R^2 0.394를 기록했다. 중요한 점은 이 논문이 중력 모형을 신경망으로 대체했다는 데 있지 않다. 지리 이론을 입력 feature가 아니라 architecture와 loss의 제약으로 사용하면서도, 고정된 함수형을 강요하지 않는 절충안을 제시했다는 데 있다. 다만 여기서 “physics-informed”는 보존 법칙이나 미분방정식을 만족시킨다는 뜻이 아니라, 여러 이동 자료에서 관찰된 통계적 scaling 범위를 정규화 항으로 사용한다는 뜻이다.

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핵심 요약

항목	설명
연구 질문	GNN의 비선형 표현력을 유지하면서 origin–destination의 역할 비대칭과 이동의 거시적 scaling law를 어떻게 보존할 것인가?
구조적 해법	같은 공간 인접 graph를 사용하되 production tower와 attraction tower의 parameter를 분리하고, directed OD graph에서 거리 인지 message passing을 수행한다.
학습 해법	Data loss에 거리 감쇠 기울기, Zipf exponent, 예측·이론 분포의 KL divergence를 soft penalty로 더한다.
대표 결과	저자 보고 기준 RMSE 0.297\pm0.002, MAE 0.187\pm0.009, R^2 0.394\pm0.014, CPC 0.791\pm0.004다.
해석의 경계	단일 주 사례의 정적 통근 OD 예측이며, feature perturbation과 regime 분석은 모델 행동의 해석이지 정책 개입의 인과효과가 아니다.

목차

1. 왜 통근 OD는 일반적인 edge prediction과 다른가
2. 중력 모형에서 PIG-GNN으로
3. 두 종류의 graph와 production–attraction dual tower
4. 거리 인지 OD interaction GNN
5. Scaling law를 soft constraint로 넣는 방법
6. Empirical prior는 어떻게 정해졌는가
7. 실험 결과를 어떻게 읽어야 하는가
8. Bimodal regime이 의미하는 것
9. “Interpretable”과 “physics-informed”의 범위
10. 한계와 후속 과제
11. 결론

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1. 왜 통근 OD는 일반적인 edge prediction과 다른가

통근 OD matrix의 원소 Y_{ij}는 지역 i에 거주하면서 지역 j로 출근하는 사람의 흐름을 나타낸다. 이를 graph의 directed edge weight로 보면 문제는 단순해 보인다. 각 지역의 속성을 node feature로 넣고, 두 node embedding을 결합해 edge weight를 회귀하면 된다.

하지만 공간 상호작용 이론의 관점에서 i와 j는 교환 가능한 두 node가 아니다.

• Origin i의 핵심은 거주 인구와 노동 공급처럼 얼마나 많은 이동을 생산하는가다.
• Destination j의 핵심은 고용·시설·접근성처럼 얼마나 많은 이동을 끌어들이는가다.
• 같은 지역도 origin으로 사용될 때와 destination으로 사용될 때 다른 표현이 필요하다.
• 두 지역의 mass가 같아도 거리와 주변 대체 목적지에 따라 Y_{ij}는 달라진다.

일반적인 shared-encoder GNN이 모든 지역에 하나의 embedding z_i만 부여하면 이러한 역할 차이는 최종 edge MLP가 뒤늦게 복원해야 한다. 모델이 충분히 크면 fitting은 가능하지만, embedding의 어떤 축이 생산이고 어떤 축이 흡인인지 분명하지 않다. PIG-GNN은 이 문제를 output head의 문제가 아니라 representation 단계의 구조적 오류로 본다.

원논문 Figure 1. 입력 자료에서 spatial adjacency graph와 directed OD graph를 만들고, theory-informed structure와 physics-informed loss를 거쳐 예측·평가·regime 분석으로 이어지는 전체 절차다. 학술적 비평을 위해 원본을 직접 인용했다. 출처: Zhao et al. (2026), Figure 1.

2. 중력 모형에서 PIG-GNN으로

고전적 중력 모형은 OD 흐름을 다음과 같은 형태로 설명한다.

• O_i: origin의 production mass
• D_j: destination의 attraction mass
• d_{ij}: 두 지역 사이의 거리 또는 일반화된 이동 비용
• \beta: 거리 감쇠 강도
• K,\mu,\nu: scale과 mass elasticity를 조절하는 parameter

Log를 취하면 거리와 흐름의 관계는 대략 선형으로 드러난다.

이 식의 장점은 각 항의 역할이 분명하다는 점이다. 단점은 도시권 내부의 포화, 다핵 구조, 지역별 이질성, 주변 목적지와의 경쟁을 하나의 전역 함수로 표현하기 어렵다는 점이다.

PIG-GNN은 이 식을 그대로 neural network로 구현하지 않는다. 대신 중력 모형이 제공하는 두 가지 inductive bias를 분리해서 사용한다.

1. 구조적 prior: production과 attraction을 서로 다른 encoder로 학습한다.
2. 통계적 prior: 거리 감쇠와 flow-rank scaling이 경험적으로 타당한 범위를 벗어날 때만 penalty를 준다.

따라서 PIG-GNN은 “gravity equation + residual network”가 아니다. 고정된 T_{ij} 함수형을 포기하는 대신, 중력 이론이 말하는 역할과 거시 패턴을 architecture와 objective에 남긴다.

3. 두 종류의 graph와 production–attraction dual tower

논문은 서로 다른 관계를 하나의 adjacency matrix에 섞지 않는다.

원논문 Figure 5. 왼쪽은 지리적으로 인접한 지역을 연결한 spatial adjacency graph, 오른쪽은 실제 이동 방향을 가진 OD flow graph다. 두 graph는 같은 지역 집합을 공유하지만 edge의 의미가 다르다. 학술적 비평을 위해 원본을 직접 인용했다. 출처: Zhao et al. (2026), Figure 5.

3.1 Spatial adjacency graph

E_S는 지리적 이웃 관계를, W는 공간 인접 weight를 나타낸다. 이 graph는 Tobler의 제1법칙처럼 가까운 지역의 사회경제적 조건이 서로 관련된다는 가정을 표현한다. PIG-GNN은 같은 G_S 위에 두 개의 tower를 둔다.

f_P와 f_A는 각각 GCN과 GAT 계층을 포함하지만 parameter를 공유하지 않는다. z_i^P는 지역 i의 production embedding, z_i^A는 attraction embedding이다. 같은 지역 i도 두 역할에 따라 서로 다른 vector를 갖는다.

3.2 Directed OD graph

E_{OD}는 i\rightarrow j 방향의 상호작용을 표현하고, D_{ij}는 거리 impedance를 제공한다. Spatial graph가 “주변 지역과 어떤 맥락을 공유하는가”를 학습한다면, OD graph는 “어떤 origin–destination 관계가 서로 경쟁하거나 대체하는가”를 학습한다.

이 분리가 중요하다. 지리적으로 인접하다는 것과 실제 통근 흐름이 존재한다는 것은 같은 관계가 아니다. 인접 지역끼리 socio-economic context를 공유할 수 있지만, 장거리 중심지 통근은 adjacency edge를 넘어 발생한다. 반대로 OD 흐름만으로 지역 문맥을 만들면 관측된 이동이 적은 지역의 표현이 빈약해질 수 있다.

4. 거리 인지 OD interaction GNN

원논문 Figure 6. Production·attraction dual tower, distance-aware GATv2 기반 OD interaction GNN, directed edge MLP, physics-informed loss가 연결된 상세 구조다. 학술적 비평을 위해 원본을 직접 인용했다. 출처: Zhao et al. (2026), Figure 6.

Figure 6의 흐름을 식으로 재구성하면 예측기는 다음과 같이 이해할 수 있다.

여기서 \psi(D_{ij})는 distance encoder, h_{ij}^{OD}는 directed OD graph에서 GATv2 message passing으로 얻은 impedance-aware interaction representation, g_\theta는 BatchNorm·ReLU·Dropout을 포함한 edge MLP다. 이 식은 Figure 6을 설명하기 위한 표기 재구성이며 원논문의 번호가 붙은 식을 그대로 옮긴 것은 아니다.

구조를 단계별로 읽으면 다음과 같다.

1. P-GNN은 origin 주변의 공간 문맥을 모아 z_i^P를 만든다.
2. A-GNN은 destination 주변의 공간 문맥을 모아 z_j^A를 만든다.
3. Directed OD graph의 GATv2는 D_{ij}를 edge 정보로 사용해 interaction을 갱신한다.
4. Source의 production representation과 target의 attraction representation을 방향에 맞춰 concatenate한다.
5. Edge MLP가 \hat Y_{i\rightarrow j}를 예측한다.
6. 최종 prediction은 data error뿐 아니라 scaling constraint의 gradient도 받는다.

단순 dual tower만으로는 주변 OD edge 간 dependence를 표현하기 어렵고, OD GNN만으로는 production과 attraction이 다시 섞일 수 있다. PIG-GNN은 두 구조를 직렬로 결합한다.

5. Scaling law를 soft constraint로 넣는 방법

PIG-GNN의 핵심은 architecture보다 loss에서 더 분명하게 드러난다.

원논문 Figure 8. Data fidelity, distance-decay slope, Zipf prior, KL divergence를 결합하고 empirical interval 밖의 값에 quadratic penalty를 적용한다. 각 \lambda_k는 loss ratio에 따라 조정된다. 학술적 비평을 위해 원본을 직접 인용했다. 출처: Zhao et al. (2026), Figure 8.

전체 목적함수는 다음과 같다.

5.1 Data fidelity

이 항은 개별 OD edge의 예측 오차를 줄인다. Physics prior가 있더라도 실제 관측값을 맞추는 주 목적은 유지된다.

5.2 Distance-decay slope prior

거리와 예측 flow의 log–log 관계에서 추정한 감쇠 exponent \beta가 경험적 구간 안에 머물도록 한다.

Hard clipping 대신 구간 밖의 위반만 제곱 penalty로 처리한다. 일반화하면 다음과 같다.

따라서 \mathcal{L}_{slope}=\phi(\beta;0.2,3.0)로 이해할 수 있다. 구간 안에서는 특정 값을 강요하지 않으므로 England data가 유효한 \beta를 선택할 여지가 남는다.

5.3 Zipf prior

Flow 크기의 complementary cumulative distribution이 power law와 유사한 꼴을 보인다는 prior다.

\mathcal{L}_{zipf}는 학습된 \alpha가 이 구간을 벗어날 때 penalty를 준다. 이는 개별 edge가 아니라 전체 flow distribution의 꼬리 구조를 조절한다.

5.4 Distributional prior

예측 flow 분포 P(\hat Y)가 거리·Zipf prior로 정의된 target distribution Q(Y)와 크게 어긋나지 않도록 한다. Slope와 Zipf가 exponent 수준의 조건이라면 KL 항은 분포 전체의 형태를 맞춘다.

\lambda_k는 고정 상수가 아니라 loss ratio에 따라 동적으로 조정된다. 이 장치는 data loss보다 scale이 큰 prior 하나가 optimization을 지배하거나, 반대로 prior gradient가 사실상 사라지는 문제를 줄이려는 것이다.

6. Empirical prior는 어떻게 정해졌는가

Physics-informed model의 가장 어려운 질문은 “어떤 law를 얼마나 강하게 믿을 것인가”다. 논문은 \beta와 \alpha를 한 도시에서 임의로 고정하지 않는다. 서로 다른 이동 목적과 공간 규모를 가진 8개 OD dataset을 분석해 넓은 interval을 정한다.

원논문 Figure 7. Intra-city, urban-regional, macro scale 자료에서 distance-decay exponent, KL divergence, Zipf exponent, monotonicity strength를 비교한다. 점선 구간 \beta\in[0.2,3.0], \alpha\in[0.5,3.0]이 PIG-GNN의 soft prior가 된다. 학술적 비평을 위해 원본을 직접 인용했다. 출처: Zhao et al. (2026), Figure 7.

Figure 7은 두 가지를 동시에 보여 준다.

1. Distance decay와 heavy-tail flow distribution은 여러 scale에서 반복된다.
2. Exponent는 하나의 보편 상수가 아니라 이동 scale에 따라 상당히 달라진다.

따라서 interval prior는 이론을 약화한 것이 아니라 자료의 이질성을 인정한 선택이다. 다만 구간이 넓을수록 regularization은 약해진다. \beta=0.21과 \beta=2.99가 모두 무벌점이라면, 이 항이 제공하는 것은 정밀한 mechanism identification보다 명백히 비현실적인 해를 배제하는 guardrail에 가깝다.

또한 경험적으로 반복되는 scaling이 곧 원인 법칙을 뜻하지는 않는다. 거리 감쇠는 이동 비용, 토지 이용, 소득, 교통망, 행정구역 설정이 함께 만든 결과일 수 있다. PIG-GNN은 이 regularity를 잘 보존하지만 그 발생 원인을 분리해 식별하지는 않는다.

7. 실험 결과를 어떻게 읽어야 하는가

주 실험은 England의 MSOA 수준 Home-to-Work commuting flow를 대상으로 한다. 비교군에는 unconstrained·doubly constrained·hurdle·PPML gravity, radiation model, Random Forest, XGBoost, MLP, mixture density network, 여러 graph·deep mobility model이 포함된다.

Model	RMSE ↓	MAE ↓	R^2 ↑	CPC ↑
PIG-GNN	0.297\pm0.002	0.187\pm0.009	0.394\pm0.014	0.791\pm0.004
Unconstrained gravity	—	—	0.284\pm0.002	—
GravityGNN	—	—	0.351\pm0.056	—

원논문 Table 3과 본문에 공개된 저자 보고 값이다. 대시 표시는 이 리뷰에서 원문 수치를 확인하지 못해 옮기지 않은 항목이다.

원논문 Figure 9. PIG-GNN을 1.0으로 정규화한 상대 성능이다. RMSE·MAE는 작을수록 좋고 R^2·CPC는 클수록 좋으므로, 방향을 통일한 상대 비교로 읽어야 한다. 학술적 비평을 위해 원본을 직접 인용했다. 출처: Zhao et al. (2026), Figure 9.

7.1 개선은 accuracy 하나에 한정되지 않는다

RMSE와 MAE는 edge별 오차를, R^2는 분산 설명력을, CPC(Common Part of Commuters)는 관측·예측 flow volume의 겹침을 본다.

CPC가 1에 가까울수록 전체 통근량의 분배가 관측치와 비슷하다. PIG-GNN이 error metric과 CPC에서 함께 강하다는 것은 단순히 일부 큰 flow만 맞춘 것이 아니라 총량 overlap도 개선했음을 뜻한다.

7.2 R^2는 개선됐지만 절대적으로 높지는 않다

R^2=0.394는 unconstrained gravity의 0.284와 GravityGNN의 0.351보다 높다. 그러나 관측 변동의 상당 부분은 여전히 설명되지 않는다. 통근 흐름의 heavy tail, zero inflation, 행정구역 aggregation, 미관측 교통 비용을 고려하면 어려운 문제지만, 이 결과를 “도시 통근을 충분히 설명했다”고 읽을 수는 없다.

7.3 비교 범위와 재현성

Figure 9는 폭넓은 baseline을 포함한다는 장점이 있다. 반면 주 결과는 한 국가의 한 종류 OD system에 집중된다. 코드·학습 split·hyperparameter를 독립적으로 재실행한 결과가 아니므로 본문의 수치는 모두 저자 보고로 한정해야 한다. 특히 작은 standard deviation은 반복 실행의 안정성을 보여 줄 수 있지만, 다른 도시·시간·zoning system으로의 외적 타당성을 보장하지 않는다.

8. Bimodal regime이 의미하는 것

논문은 예측 성능 외에 test prediction의 분포를 분석한다. Predicted log flow에는 평균 약 6.05의 작은 고유량 cluster와 평균 약 1.32의 큰 저유량 cluster가 나타난다.

원논문 Figure 12. Test set의 predicted log flow를 두 cluster로 분리한다. Figure 표기 기준 intra-city cluster는 11,697개, inter-city cluster는 703,418개이며, threshold 5.0을 사용한다. 고유량 cluster는 거리에 둔감한 포화 구간, 저유량 cluster는 거리 증가에 따라 감소하는 구간으로 나타난다. 학술적 비평을 위해 원본을 직접 인용했다. 출처: Zhao et al. (2026), Figure 12.

저자들은 이를 다음과 같이 해석한다.

• Intra-city regime: 비교적 짧은 거리와 높은 빈도의 통근이 포화된 cluster를 이룬다.
• Inter-city regime: 거리가 멀어질수록 flow가 감소하는 gravity-dominated pattern이 나타난다.

이 결과의 의미는 하나의 \beta가 모든 OD pair를 동일하게 설명하지 못한다는 데 있다. 도시 내부의 고빈도 이동과 도시 간 장거리 이동은 서로 다른 생성 regime을 가질 수 있다. Soft prior는 전역 scaling을 보존하면서도 GNN이 이 국소적 편차를 표현하게 한다.

그러나 Figure 12의 cluster는 예측값 분포에서 사후적으로 확인한 구조다. 다음 가능성을 구분해야 한다.

1. 실제 intra/inter-city mechanism이 두 개 존재한다.
2. Log transform과 zero-heavy distribution이 두 mode를 강조했다.
3. Region boundary와 intra-zonal aggregation이 고유량 cluster를 만들었다.
4. Prediction head의 saturation이 상단 mode를 좁게 만들었다.

따라서 bimodality는 흥미로운 진단 결과지만, 독립적인 mechanism test 없이 두 개의 인과적 이동 법칙이 입증됐다고 보기는 어렵다.

9. “Interpretable”과 “physics-informed”의 범위

9.1 해석 가능성은 세 층으로 구성된다

층	무엇이 보이는가	무엇까지는 말할 수 없는가
Role-aware representation	Production과 attraction을 별도 embedding으로 표현한다.	각 latent dimension이 특정 사회경제 변수와 일대일 대응한다는 보장은 없다.
Scaling consistency	\beta, \alpha, flow distribution이 경험적 범위와 얼마나 맞는지 확인할 수 있다.	그 scaling을 만든 원인 mechanism을 식별하지 않는다.
Perturbation·regime analysis	Feature나 distance 변화에 대한 model response, intra/inter-city pattern을 볼 수 있다.	관측자료 기반 반응을 정책 개입의 causal effect로 해석할 수 없다.

이 논문의 interpretability는 post-hoc explanation 하나에 의존하지 않는다. 역할을 architecture로 분리하고, 학습 중에 거시 지표를 노출하며, 예측 후 regime을 분석하는 조합이다. 이는 일반 black-box edge predictor보다 설명 표면을 넓힌다.

9.2 여기서 physics는 경험적 지리 regularity다

PIG-GNN은 mass conservation PDE, 교통 유체 방정식, 에너지 보존식을 직접 만족시키지 않는다. 논문이 physics-informed라고 부르는 대상은 다음과 같다.

• Flow가 거리에 따라 감소한다.
• Flow 크기 분포가 Zipf-like scaling을 보인다.
• 예측 분포가 이러한 prior와 크게 어긋나지 않는다.

이는 지리학·복잡계의 경험 법칙을 learning constraint로 사용한 것이다. 따라서 더 정확한 표현은 theory-regularized spatial graph learning이다. 이 구분은 모델의 신뢰도를 평가할 때 중요하다. Constraint를 만족해도 교통망의 물리적 수용량이나 정책 시나리오의 실행 가능성이 자동으로 보장되지는 않는다.

10. 한계와 후속 과제

10.1 논문 근거에서 확인되는 경계

• 주 검증은 England MSOA-level Home-to-Work flow에 집중된다.
• \beta와 \alpha interval은 여러 OD system에서 보정했지만, model transfer 자체를 여러 국가에서 검증한 결과와는 다르다.
• Static aggregate OD prediction이므로 시간대별 변동, network disruption, 장기 land-use change를 직접 모델링하지 않는다.
• Figure 12의 regime label은 model prediction을 해석한 결과이며 사전에 관측된 causal class가 아니다.

10.2 실험 설정에서 직접 도출되는 한계

다음 항목은 논문이 명시적으로 입증한 결론이 아니라, 공개된 설정과 분석 범위에서 직접 도출되는 해석상의 경계다.

첫째, zoning sensitivity가 남는다. MSOA 경계가 바뀌면 adjacency, intra-zone flow, 평균 거리, production·attraction feature가 함께 달라진다. 이는 Modifiable Areal Unit Problem으로 이어진다. 다른 공간 해상도에서도 동일한 prior interval과 bimodal pattern이 유지되는지 확인할 필요가 있다.

둘째, 구조와 loss의 기여를 더 분리해야 한다. Dual tower, OD interaction GNN, slope prior, Zipf prior, KL prior, adaptive weighting이 모두 들어간다. 각 요소를 제거한 ablation이 있더라도, 서로의 interaction과 seed별 불확실성을 충분히 보여 주려면 더 체계적인 factorial evaluation이 필요하다.

셋째, counterfactual이라는 용어를 제한해서 써야 한다. Input feature를 바꾸고 prediction 변화를 보는 것은 model counterfactual 또는 sensitivity analysis다. 실제 도시에서 고용이나 인구를 바꿨을 때 통근이 같은 크기로 변한다는 정책 효과 추정은 아니다. Confounder, equilibrium response, transport capacity가 모델에 명시돼 있지 않기 때문이다.

넷째, broad prior의 이점과 약점이 함께 있다. 넓은 interval은 domain variation을 허용하고 neural flexibility를 보존한다. 반대로 대부분의 solution이 구간 안에 들어오면 regularization이 거의 작동하지 않을 수 있다. Constraint 활성 빈도, 학습 중 \lambda_k 변화, out-of-domain에서의 위반률을 함께 보고해야 prior의 실제 기여를 평가할 수 있다.

다섯째, uncertainty가 필요하다. 도시 계획에서는 point prediction뿐 아니라 어떤 OD pair에서 model이 불확실한지가 중요하다. PIG-GNN의 theory consistency와 predictive uncertainty를 결합하면, scaling law는 맞지만 지역별 오차가 큰 경우를 구분할 수 있다.

11. 결론

PIG-GNN은 통근 OD 예측에서 지리 이론을 사용하는 위치를 바꾼다. 중력 모형을 baseline으로만 두거나, 거리와 인구를 단순 feature로 추가하는 대신, production–attraction 비대칭은 dual tower로, OD 경쟁은 directed interaction graph로, distance decay와 Zipf scaling은 soft loss로 구현한다.

이 설계가 제공하는 핵심 이점은 제약과 유연성의 분리다. Model은 고정된 중력 함수에 갇히지 않지만, 학습 결과가 알려진 거시적 이동 regularity에서 크게 벗어나면 penalty를 받는다. 저자 보고 결과에서 이 조합은 고전적 gravity, tree model, deep·graph baseline보다 전반적으로 좋은 error와 flow overlap을 보였다.

다만 “이론에 부합한다”와 “현실의 원인을 설명한다”는 같은 말이 아니다. PIG-GNN의 constraint는 경험적 scaling을 보존하고 representation의 역할을 분리하지만, 정책 개입의 인과효과나 다른 도시의 transfer를 자동으로 보장하지 않는다. Bimodal regime도 유용한 가설을 제공하지만 독립 검증이 필요하다.

따라서 이 논문의 가장 설득력 있는 결론은 다음과 같다.

1. OD graph learning에서는 origin과 destination을 대칭 node로 처리하지 않는 편이 이론적으로 자연스럽다.
2. Spatial adjacency와 directed mobility relation은 별도의 graph로 표현할 가치가 있다.
3. 경험 법칙은 hard-coded prediction formula보다 soft interval constraint로 사용할 수 있다.
4. Edge-level accuracy와 distribution-level plausibility를 같은 objective에서 함께 관리할 수 있다.
5. 해석 가능성은 latent attribution 하나보다 architecture, training constraint, regime analysis를 함께 설계할 때 더 강해진다.

PIG-GNN은 중력 모형과 GNN 중 하나를 선택하지 않는다. 어느 부분을 이론에 맡기고 어느 부분을 data에 맡길지를 architecture와 loss 수준에서 분해한다. 이 분해가 이 논문의 주된 방법적 기여다.

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